이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 중국인의 나머지 정리 (문단 편집) === 증명 === 그 중에서도 쉬운 쪽인 [math(\ker \phi = \bigcap_i I_i)]를 먼저 확인해 보자. 다음 몇 줄로 간단하게 증명된다. [math(\displaystyle a \in \ker \phi)] [math(\leftrightarrow)] [math(\displaystyle \phi(a) = (a + I_1, a + I_2, \cdots, a + I_n) = 0)] [math(\leftrightarrow)] 모든 [math(i)]에 대해 [math(\displaystyle a \in I_i)] [math(\leftrightarrow)] [math(\displaystyle a \in \bigcap_i I_i)]. 이제 [math(\phi)]가 전사임을 보여보자. 다음 두 보조정리를 보인 다음, [math(n)]에 대한 수학적 귀납법으로 전사임을 보이는 쓰는 방식을 쓸 것이다. >('''보조정리 1-1''') 세 comaximal한 two-sided 아이디얼들 [math(I_1)], [math(I_2)], [math(J)]에 대하여 [math(I_1 \cap I_2)]와 [math(J)] 역시 comaximal하다. 즉, [math((I_1 \cap I_2) + J = R)]이다. [math((I_1 \cap I_2) + J)]이 단위원 1을 가진다는 것을 보이는 것으로 증명을 해 보이도록 하겠다.[* 단위원을 가진 아이디얼은 전체 환 하나 뿐이다.] Comaximal하다는 가정으로부터 다음을 만족하는 [math(a, b \in I_1)], [math(c, d \in I_2)], [math(x, y \in J)]를 찾을 수 있다. [math(\displaystyle a + x = c + y = b + d = 1)]. 이제 다음을 보자. [math(\displaystyle ac + (bx + ay + dx) = a(c + y) + (b + d)x = a + x = 1)]. 여기서 [math(ac \in I_1 \cap I_2)], [math(bx + ay + dx \in J)]임을 보자. 따라서 위 원소는 [math((I_1 \cap I_2) + J)]에 포함된다. 결국 [math(I_1 \cap I_2)]와 [math(J)] 역시 comaximal함을 보였다. 사실 다음을 곧바로 알 수 있다. >('''보조정리 1-2''') Comaximal한 two-sided 아이디얼들 [math(I_1)], [math(I_2)], [math(\cdots)], [math(I_n)], [math(J)]에 대하여 [math(\bigcap_i I_i)]와 [math(J)] 역시 comaximal하다. 즉, [math(\left( \bigcap_i I_i \right) + J = R)]이다. 굳이 더 덧붙이자면, 수학적 귀납법으로 쉽게 증명할 수 있다. >('''보조정리 2''') 두 comaximal한 two-sided 아이디얼들 [math(I)], [math(J)], 그리고 임의의 [math(x, y \in R)]에 대하여 [math(a + I = x + I)], [math(a + J = y + J)]인 [math(a \in R)]이 존재한다. 물론 이건 지금 보이려고 하는 것의 [math(n = 2)]인 경우이다. 한편 만약 [math(b + I = 0 + I)], [math(b + J = 1 + J)]인 [math(b \in R)]을 찾았다면, [math(a = x + b(y - x))]로 두는 것으로 증명을 완료할 수 있다. 그런데 [math(b + I = 0 + I)]인 것은 [math(b \in I)]임과 동치이므로 이는 곧 [math(b - 1 \in J)]이도록 하는 [math(b \in I)]를 찾으라는 이야기이다. 그리고 이건 [math(I + J = R)]이라는 사실로부터 금방 해결할 수 있다. 저 가정으로부터 어떤 [math(b \in I)], [math(c \in J)]에 대하여 [math(b + c = 1)]임을 알 수 있다. 그리고 [math(b - 1 = -c \in J)]이므로 이 [math(b)]가 바로 원하는 그 [math(b)]임을 알 수 있다. 이제 원래 문제로 돌아가자. 언급했듯이 [math(n = 2)]인 경우는 증명이 완료되어 수학적 귀납법의 첫번째 스텝을 잘 밟았음을 안다. 이제 어떤 [math(n)]에 대하여 [math(\phi)]가 항상 전사임이 밝혀졌다고 가정한 다음, comaximal한 two-sided 아이디얼들 [math(I_1)], [math(I_2)], [math(\cdots)], [math(I_{n + 1})]에 대하여 정의된 [math(\phi)] 역시 전사인가를 살펴보도록 하자. 먼저 임의의 [math(a_1, a_2, \cdots, a_{n + 1} \in R)]을 생각해 보자. 그러면 가정에 의하여 모든 [math(i = 1, 2, \cdots, n)]에 대해 [math(a_0 + I_i = a_i + I_i)]인 [math(a_0 \in R)]이 존재한다는 것을 알 수 있다. 이제 보조정리 1-2에 의하여 [math(I_0 = \bigcap_{i = 1}^n I_i)]와 [math(I_{n + 1})]이 comaximal하다는 것을 보자. 그러면 보조정리 2에 의하여 [math(a + I_0 = a_0 + I_0)], [math(a + I_{n + 1} = a_{n + 1} + I_{n + 1})]을 만족하는 [math(a \in R)]을 찾을 수 있다. 그런데 [math(a - a_0 \in I_0 = \bigcap_{i = 1}^n I_i)]이므로 모든 [math(i = 1, 2, \cdots, n)]에 대하여 [math(a + I_i = a_0 + I_i = a_i = I_i)]임을 알 수 있다. 결국 모든 [math(i = 1, 2, \cdots, n + 1)]에 대해 [math(a + I_i = a_i + I_i)]인 [math(a \in R)]을 찾았다. 따라서 이 경우에도 [math(\phi)]는 전사이다. 마지막으로, 수학적 귀납법에 의하여 모든 [math(n)]에 대해 [math(\phi)]가 전사임을 주장할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기